Σε μία μεγάλη κατσαρόλα προσθέτουμε τις 3 – 4 κ.σ. ελαιόλαδο και τσιγαρίζουμε σε μέτρια προς δυνατή φωτιά (6-8) το ξερό κρεμμύδι, το σκόρδο και το πράσο για 2 – 3 λεπτά. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις πιπεριές και τις σοτάρουμε αρκετά ώστε να φύγουν όλα τα υγρά τους. Αφαιρούμε προσωρινά τα λαχανικά από την κατσαρόλα.
Προσθέτουμε το βούτυρο και με το που λιώσει προσθέτουμε και το αλεύρι. Ανακατεύουμε καλά και στη συνέχεια ενσωματώνουμε το γάλα, έτσι ώστε να δημιουργήσουμε μια ‘τύπου’ μπεσαμέλ. Μόλις αρχίσει να πήζει, αποσύρουμε από τη φωτιά και προσθέτουμε το τυρί, τα λαχανικά και το θυμάρι. Διορθώνουμε τη γεύση με αλάτι και πιπέρι.
Μόλις πέσει η θερμοκρασία ρίχνουμε μέσα το χτυπημένο αυγό και τα φρέσκα κρεμμυδάκια.
Λαδώνουμε ένα ταψί 40×30 και τοποθετούμε 3 φύλλα στη σειρά ζαρωμένα, ώστε να καλυφθεί ο πάτος. Με ένα πινέλο τα λαδώνουμε καλά, με το υπόλοιπο ελαιόλαδο. Από πάνω απλώνουμε τη γέμιση ομοιόμορφα, αφήνοντας 1 εκατοστό κενό στην περίμετρο. Τέλος βάζουμε με τον ίδιο τρόπο τα άλλα 3 φύλλα και τα λαδώνουμε πολύ καλά.
Σε ένα μπολ, χτυπάμε τον κρόκο αυγού και αλείφουμε τα φύλλα της πίτας, ώστε να πάρει ωραίο χρώμα.
Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς για 50-60 λεπτά.