Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180 βαθμούς στον αέρα.
Προθερμαίνουμε μια μεγάλη κατσαρόλα σε πολύ υψηλή θερμοκρασία, χωρίς καθόλου ελαιόλαδο. Λαδώνουμε τον κιμά με 2 κ.σ. ελαιόλαδο, το ρίχνουμε στην κατσαρόλα και φροντίζουμε να τον απλώσουμε σε όλη την επιφάνεια της κατσαρόλας. Καβουρδίζουμε πάρα πολύ καλά μέχρι ο κιμάς να έχει ένα ωραίο καφέ σκούρο χρώμα για περίπου 6 – 8 λεπτά.
Παράλληλα, σε ένα τηγάνι σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, προσθέτουμε 3 κ.σ. ελαιόλαδο και τσιγαρίζουμε το κρεμμύδι, το σκόρδο, το καρότο και το σέλερι για 5 – 6 λεπτά.
Προσθέτουμε τα λαχανικά από το τηγάνι στην κατσαρόλα με τον κιμά, όπως επίσης τον πελτέ, τη σάλτσα τομάτας, το ζωμό και τη δάφνη. Σκεπάζουμε την κατσαρόλα και σιγοβράζουμε για περίπου 30 λεπτά. Αποσύρουμε από τη φωτιά, αφαιρούμε τη δάφνη, ρίχνουμε το βασιλικό και διορθώνουμε τη γεύση με αλάτι και πιπέρι. Θέλουμε ο κιμάς να είναι ζουμερός και όχι στεγνός.
Σε ένα πυρέξ απλώνουμε ένα μέρος από τον κιμά, στη συνέχεια μια στρώση λαζάνια και τέλος μια στρώση από κολοκυθάκια. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, μέχρι η τελευταία στρώση να είναι κιμάς.
Σε ένα μπολ ανακατεύουμε το κατίκι, το ανθότυρο και τη μοτσαρέλα και απλώνουμε πάνω από το πυρέξ με τον κιμά.
Ψήνουμε για 30 – 40 λεπτά, ή μέχρι να ροδίσει το τυρί.