Προθερμαίνουμε ένα μεγάλο τηγάνι 27 – 30 εκ. σε μέτρια προς υψηλή θερμοκρασία και προσθέτουμε το ελαιόλαδο και το κρεμμύδι. Τσιγαρίζουμε για τουλάχιστον 6 – 7 λεπτά, μέχρι ο όγκος του κρεμμυδιού να αρχίζει να μειώνεται και παράλληλα να καραμελώνει. Προσθέτουμε και την μελιτζάνα και μαγειρεύουμε για άλλα 5 λεπτά.
Παράλληλα σ’ ένα μούλτι προσθέτουμε τη τριμμένη σάλτσα τομάτας τομάτες και τις πολτοποιούμε. Τις υπόλοιπες μισές τις κόβουμε σε 8 κομμάτια.
Όταν το κρεμμύδι είναι έτοιμο προσθέτουμε το σκόρδο, μαγειρεύουμε για λιγότερο από 1 λεπτό και στη συνέχεια προσθέτουμε τον πελτέ, τη σάλτσα τομάτας, το νερό (ή ζωμό) το κύμινο, τη γλυκιά πάπρικα και το τσίλι. Ανακατεύουμε και προσθέτουμε αλάτι και πιπέρι.
Σιγομαγειρεύουμε για περίπου 30′ λεπτά, μέχρι η σάλτσα να αρχίσει να δένει. Δοκιμάζουμε και διορθώνουμε τη γεύση με αλάτι πιπέρι και ίσως ένα κουταλάκι του γλυκού μέλι για να εξισορροπήσει τυχόν οξύτητα από τις τομάτες.
Χαμηλώνουμε τη θερμοκρασία σε μέτρια (4-5) και με ένα κουτάλι κάνουμε ένα μικρό αυλάκι για κάθε αυγό. Σπάμε στο κάθε αυλάκι από ένα αυγό και τοποθετούμε ένα καπάκι στο σκεύος. Μαγειρεύουμε για 5 – 8 λεπτά.
Αποσύρουμε από την εστία και γαρνίρουμε με τη φέτα και τον ψιλοκομμένο βασιλικό. Σερβίρουμε με φρέσκο ψωμί.